Меню

Координаты центра тяжести швеллера формула



Определение положения центра тяжести сечений, составленных из профилей стандартного проката


Условие задачи

Определить положение центра тяжести симметричного сечения, составленного, как показано на рис. 187, из полосы размером 120×10 мм, двутавра № 12 (ГОСТ 8239–56) и швеллера № 14 (ГОСТ 8240–56).

Решение задачи

1. Разбиваем сечение на три части: I – полоса, II – двутавр и III – швеллер.

2. Находим площади каждой части, выражая их в см 2 . Площадь полосы определяем путем перемножения двух данных размеров, а площади двутавра и швеллера – по таблицам из ГОСТа.

Площадь сечения полосы
F1 = 12 * 1 = 12 см 2 .

Площадь сечения двутавра № 12
F2 = 14,7 см 2 .

Площадь сечения швеллера № 14
F3 = 15,7 см 2 .

3. Данное сечение имеет вертикальную ось симметрии. Совместим с этой осью ось у, а ось х проведем через середину двутавра через точку С2 – центр тяжести его сечения. Центр тяжести сечения полосы С1 расположен ниже точки С2, принятой в данном случае за начало координат, на расстоянии
y1= -(h/2 + 0,5) = -6,5 см.

Центр тяжести швеллера С3 находим при помощи тех же таблиц из ГОСТа. Положение центра тяжести швеллеров в таблицах обозначено одной координатой z; для швеллера № 14 z=1,66 см, следовательно,
y3= h/2 + z = 7,66 см.

4. Подставляем эти значения в расчетную формулу для ординаты yc:
yc = (-12*6,5+14,7*0+15,7*7,66)/(12+14,7+15,7) = 42,3/42,4 = 1,0 см.

В выбранных осях положения центра тяжести сечения выражены координатами С(0; 1).

Это значит, что центр тяжести сечения находится от его нижнего края (от точки А) на расстоянии AC=8 см.

Источник

Определение положения центра тяжести сечений, составленных из профилей стандартного проката


Условие задачи

Определить положение центра тяжести сечения, составленного, как показано на рис. 188, из трех профилей стандартного проката: швеллера № 10 (ГОСТ 8240–56), двутавра № 12 (ГОСТ 8239–56) и неравнобокого уголка № 5/3,2 (размеры 50x32x4 мм ГОСТ 8510–57).

Решение задачи

1. Разбиваем сечение на три части: I – швеллер, II – двутавр и III – неравнобокий уголок.

2. Начало координат поместим в вершине прямого угла неравнобокого уголка; ось х совместим с нижней полкой двутавра, а ось у – с его вертикальной осью симметрии.

3. При помощи таблиц из ГОСТа находим:
площадь сечения швеллера № 10
F1 = 11,7 см 2 ;
площадь сечения двутавра № 12
F2 = 14,7 см 2 ;
площадь сечения уголка № 5/3,2
F3 = 3,17 см 2 .

4. В таблицах из ГОСТа положение центра тяжести С1 швеллера № 10 показано одной координатой z=1,55 см, так как швеллер имеет одну ось симметрии. Положение центра тяжести С2 двутавра в таблицах не показано, так как он имеет две оси симметрии и его центр тяжести расположен на их пересечении. Положение центра тяжести С3 неравнобокого уголка № 5/3,2 показано двумя координатами: х=0,76 и y=1,65 см.

Располагаем центры тяжести C1, C2 и C3 на рисунке (см. рис. 188), а затем при помощи таблиц находим их координаты в выбранных осях, учитывая другие необходимые размеры профилей, которые также берутся из таблиц:
координаты центра тяжести C1:
x1 = OD = PL — PA = 5 — 3,2 = 1,8 см;
y1 = OB = OA + AB = 12 + 1,55 = 13,55 см;
координаты центра тяжести C2:
x2 = 0;
y2 = OC2 = 6 см;
координаты центра тяжести C3:
x3 = -OE = -y = -1,65 см;
y3 = -OK = -x = -0,76 см.

6. Подставляем эти значения в расчетные формулы:
xc = (11,7*1,8+14,7*0-3,17*1,65)/(11,7+14,7+3,17) = 15,9/29,6 = 0,54 см;
yc = (11,7*13,55+14,7*6-3,17*0,76)/(11,7+14,7+3,17) = 244,2/29,6 = 8,23 см.

7. Центр тяжести данного составного сечения имеет координаты (в мм) С(5,4; 82,3).

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Задача 1

Требуется определить положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет сложную форму, состоит их 4 х простых фигур:

I – швеллера №30 а ,

II – прямоугольника 2×40см,

III – двутавра №20 а ,

IV – равнобокого уголка №12 (d=10мм).

Всё начинается с подготовки исходных данных. С этой целью необходимо сделать выписки из таблиц Сортамента прокатных сечений (см. рубрику «Таблицы»).

Этап 0. Подготовительный

Фигура I. Швеллер №30 а

Фигура II – прямоугольник 2×40см, В сортаменте прокатной стали этой фигуры нет, поскольку все геометрические характеристики ее свободно вычисляются

Фигура III. Двутавр №20 а .

Фигура IV. Равнобокий уголок №12 (d=10мм).

Пользуясь данными сортамента, на схеме сечения, вычерченной в достаточно крупном масштабе, показываем положение центров тяжести каждой из фигур и собственные центральные оси хi, уi.

Этап 1. Определение положения центра тяжести сечения. Сечение не имеет осей симметрии. Поэтому придётся определять две координаты центра тяжести, используя формулы:

Читайте также:  Арматура северсталь как определить

Для реализации этих формул выбираем вспомогательные оси х‘ и у (см.схему сечения).

Площади отдельных фигур: А1=43,89см 2 , А2=2×40=80см 2 ,

Координаты центров тяжести отдельных фигур:

Площадь всего сечения А=182,7см 2 .

Тогда координаты собственных центров тяжести отдельных фигур в системе случайных центральных осей хс, усбудут:

Этап 2. Определение моментов инерции относительно случайных центральных осей хс, ус.

Справочные сведения о знаке собственного центробежного момента инерции уголка (равнобокого и неравнобокого):

Справочные сведения для определения собственного центробежного момента инерции неравнобокого уголка:

Этап 3. Определение положения главных центральных осей

Положительный угол α соответствует повороту против часовой стрелки главных осей относительно случайных (см.схему).

Этап 4. Определение величин главных центральных моментов инерции

Правило: Ось с максимальным главным моментом инерции «тяготеет» к более тяжелой случайной оси. Поэтому в нашем случае:

Проверки.

  1. Выполнение закона суммы осевых моментов инерции.

Для этого сравним

Разница в последней цифре дает незначительную погрешность Запись опубликована 11.09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Архив рубрики: Задачи на геометрические характеристики

Задача

Определить главные центральные моменты инерции, осевые моменты сопротивления сечения, составленного из стандартных профилей проката.

Сечение состоит из двух неравнополочных уголков 75×50х5 (маркировка в мм) и швеллера № 16 (№ швеллера говорит о его высоте в см).

  1. Определим положение центра тяжести сечения.

Сечение симметрично относительно оси у, проводим её как ось – главную и центральную. Координата хС=0. Для нахождения уС проводим случайную ось х (выбранную случайным образом). Обозначим центры тяжести всех профилей и выпишем необходимые характеристики профилей из сортамента прокатной стали.

Фигуры 1,2 – уголки 75×50х5

Фигура 3 – швеллер №16

Покажем на схеме и определим координаты у для профилей

Определим координату уС по формуле

где Аiплощадь каждого профиля,

Проводим главную центральную ось х вниз от оси х′ на 0,11 см, наносим т.С – центр тяжести всего сечения.

2. Определяем главные центральные моменты инерции по формулам перехода:

где Ixi , Iyi моменты инерции каждой фигуры;

Аi площадь сечения каждой фигуры;

аi – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси х;

bi – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси у.

Определяем аi (смотрим схему)

Определяем Iх. Следует обратить внимание на то, что фигура 3 – швеллер – повернут, поэтому, для определения Iх следует из сортамента взять Iу швеллера.

Определяем Iу. Для швеллера (повернут) Iу3 = Iх = 747см 4 .

Определим размеры bi, показываем на схеме.

b3=0, т.к. центр тяжести швеллера лежит на оси у.

3. Определим осевые моменты сопротивления сечения по формулам:

Из схемы видно ,что

Задача

Определить главные центральные моменты инерции сечения геометрической формы.

  1. Определим положение центра тяжести сечения.

Сечение симметрично относительно оси у, поэтому нанесем ось у – ось, на которой находится центр тяжести всего сечения. Координата хС=0, значит, следует определить координату уС.

Выберем случайную ось х — внизу сечения.

Разобьем сечение на простые фигуры:

фигура 1 – прямоугольник с основанием 8 см и высотой 6 см, отмечаем центр тяжести прямоугольника – т. С1

фигура 2 – равнобедренный треугольник с основанием 8 см и высотой 3 см, отмечаем его центр тяжести – т. С2.

Теперь вычислим площади каждой фигуры и определим координаты у каждой фигуры, затем координаты нанесем на схему

Прямоугольник

Треугольник

Теперь определим координату центра тяжести всего сечения по формуле:

Отмечаем уС на схеме, центр тяжести всего сечения – т.С — и проводим через эту точку главную центральную ось х.

По формулам перехода определяем главные центральные моменты инерции сечения:

где Ixi , Iyi — моменты инерции каждой фигуры;

Аi площадь сечения каждой фигуры;

Читайте также:  Станок для гибки арматуры кмв 50 pro

аi расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси х;

bi расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси у.

Фигура 1 – прямоугольник

Расстояние а1 от С1 до оси х покажем на схеме. Из схемы видно, что а1=- ( уСу1 )= -0,8 см. Так как С1 находится на оси у, то b1=0.

Фигура 2 – треугольник

Находим а2 = у2уС = 7 — 3,8= 3,2 см, отмечаем на схеме.

b2=0, т.к. С2 находится на оси у.

Подставляем значения в формулы перехода и определяем:

главный центральный момент инерции сечения относительно оси х

— главный центральный момент инерции сечения относительно оси у

Задача

Для заданного поперечного сечения, состоящего из швеллера и равнобокого (равнополочного) уголка требуется определить главные центральные моменты инерции

1) Вычерчиваем сечение в масштабе.

2) Разбиваем на простейшие фигуры:

1. Швеллер №30 (пользуемся сортаментом прокатных профилей):

2. Уголок :

3) В каждой фигуре найти собственный центр тяжести С1 и С2 ,провести собственные оси.

4) Выбрать вспомогательные оси .

5) Относительно вспомогательных осей определить центр тяжести всей фигуры:

Через найденный центр тяжести проводим центральные оси.

6) Находим моменты инерции всей фигуры относительно центральных осей, используя формулы перехода между параллельными осями

При определении центробежного момента инерции следует помнить ,что если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной, вторая ось, перпендикулярная ей, тоже главная. Центробежный момент относительно главных осей равен 0. Таким образом, для швеллера

Для уголка см 4 , знак зависит от расположения уголка (см. Таблицы «Знак центробежного момента для уголков»). В нашем случае он положительный.

Здесь: аi расстояния между центральной осью Х и собственным центром тяжести каждой фигуры,

bi расстояние между центральной осью Y и собственным центром тяжести каждой фигуры

Как видим из вычислений, центробежный момент инерции сечения значит, центральные оси Х;Y не являются главными!

7) Определим положение главных осeй через угол α:

Знак «-» означает, что надо повернуть оси Х, У по часовой стрелке.

8) Определим главные моменты инерции сечения

9) Проверка: Сумма моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей есть величина постоянная:

Проверка выполняется.

Задача 6

Найти главные центральные моменты инерции.

  1. Подготовка исходных данных.

— для двутавра №10:

— для швеллера №20:

2. Поскольку сечение имеет одну ось симметрии, то она – одна из главных центральных (у). Найдем положение центра тяжести на этой оси. Для этого выберем вспомогательную ось х‘, перпендикулярную оси симметрии, и реализуем формулу:

которая и определит расстояние от оси х‘ до искомого центра тяжести.

тогда

Показываем на схеме центр тяжести «С» и проводим вторую главную центральную ось х.

Ординаты собственных центров тяжести простых фигур в системе главных центральных осей:

3. Вычисляем главные центральные моменты инерции

Итак,

Задача 5

Определить главные центральные моменты инерции сечения.

Составные простые части сечения: прямоугольник 100×60см (I), полукруг r=30см (IIи III), треугольник 100×30см (IV).

Вертикальная ось симметрии у является одной из главных центральных осей.

  1. Найдем положение центра тяжести сечения на оси симметрии. Для этого выберем вспомогательную ось х, перпендикулярную оси симметрии. Пусть она совпадает с осями: х1, х2, х3

Статический момент относительно вспомогательной оси х‘:

значит, центр тяжести сечения располагается на 12,8см выше вспомогательной оси х‘.

2. Вычисляем осевые моменты инерции

Они и будут главными центральными моментами инерции сечения.

Здесь применялись формулы:

Задача 4

Найти главные центральные моменты инерции сечения, состоящего из листа 40×2см и двух уголков №14/9.

Исходные данные из сортамента для неравнобокого уголка №14/9.

Сечение имеет одну ось симметрии. Она – одна из главных центральных. Обозначаем её х. Чтобы показать вторую главную центральную ось, надо найти положение центра тяжести на оси симметрии:

Выбираем вспомогательную ось у‘, перпендикулярную к оси симметрии и вычисляем статический момент сложного сечения относительно этой оси:

Проводим главную центральную ось у через найденный центр тяжести.

Вычисляем непосредственно главные центральные моменты инерции:

Таким образом,

Задача 3

Требуется найти главные центральные моменты инерции.

Читайте также:  Запорная арматура для маслопровода

Сечение имеет две оси симметрии. Следовательно, центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей, а сами они оказываются главными центральными осями.

Остается лишь вычислить осевые моменты инерции относительно осей х и у.

«Разбиваем» сечение на простые фигуры: прямоугольник 6×8см и два круга r=1см. Тогда:

Итак

,

Задача 2

Требуется определить величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет одну ось симметрии.

На основании первого признака главных осей для симметричных сечений можно утверждать, что ось симметрии является одной из главных центральных осей. Обозначаем ее «у». Значит, вторая главная центральная ось, перпендикулярная оси симметрии, должна проходить через центр тяжести сечения.

Следовательно, нам достаточно только найти положение центра тяжести на оси симметрии, а для этого необходимо вычислить одну лишь координату его по формуле:

С этой целью выбираем вспомогательную ось х, «разбиваем» сложное сечение на прямоугольник со сторонами 10 и 4см и треугольник с основанием 4см и высотой 3см.

Проводим через найденный центр тяжести вторую главную центральную ось х.

Расстояние между осями х1 и х: а1=5 — 4,3 =0,7см, а расстояние между осями х2 и х: а2=10 – 1 — 4,3 = 4,7см.

Таким образом, положение главных центральных осей найдено, осталось вычислить величины главных центральных моментов инерции:

Принятые обозначения

х‘, у – вспомогательные оси при определении положения центра тяжести сечения,

Sх’, Sу’ – статические моменты относительно вспомогательных осей,

хс, ус – координаты центра тяжести сечения, а также и обозначение случайных (т.е. не главных) центральных осей,

α – угол поворота главных центральных осей от случайных центральных осей хс и ус,

, — главные центральные моменты инерции,

сi – центры тяжести отдельных фигур, из которых состоит сечение сложной формы,

хi, уi – собственные центральные оси отдельных фигур, а также и координаты центров тяжести отдельных фигур в системе вспомогательных осей х‘, у‘,

аi, вi – расстояния между собственными центральными осями отдельных фигур хi, уi и случайными центральными осями всего сечения хс, ус.

Задача 1

Требуется определить положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет сложную форму, состоит их 4 х простых фигур:

I – швеллера №30 а ,

II – прямоугольника 2×40см,

III – двутавра №20 а ,

IV – равнобокого уголка №12 (d=10мм).

Всё начинается с подготовки исходных данных. С этой целью необходимо сделать выписки из таблиц Сортамента прокатных сечений (см. рубрику «Таблицы»).

Этап 0. Подготовительный

Фигура I. Швеллер №30 а

Фигура II – прямоугольник 2×40см, В сортаменте прокатной стали этой фигуры нет, поскольку все геометрические характеристики ее свободно вычисляются

Фигура III. Двутавр №20 а .

Фигура IV. Равнобокий уголок №12 (d=10мм).

Пользуясь данными сортамента, на схеме сечения, вычерченной в достаточно крупном масштабе, показываем положение центров тяжести каждой из фигур и собственные центральные оси хi, уi.

Этап 1. Определение положения центра тяжести сечения. Сечение не имеет осей симметрии. Поэтому придётся определять две координаты центра тяжести, используя формулы:

Для реализации этих формул выбираем вспомогательные оси х‘ и у (см.схему сечения).

Площади отдельных фигур: А1=43,89см 2 , А2=2×40=80см 2 ,

Координаты центров тяжести отдельных фигур:

Площадь всего сечения А=182,7см 2 .

Тогда координаты собственных центров тяжести отдельных фигур в системе случайных центральных осей хс, усбудут:

Этап 2. Определение моментов инерции относительно случайных центральных осей хс, ус.

Справочные сведения о знаке собственного центробежного момента инерции уголка (равнобокого и неравнобокого):

Справочные сведения для определения собственного центробежного момента инерции неравнобокого уголка:

Этап 3. Определение положения главных центральных осей

Положительный угол α соответствует повороту против часовой стрелки главных осей относительно случайных (см.схему).

Этап 4. Определение величин главных центральных моментов инерции

Правило: Ось с максимальным главным моментом инерции «тяготеет» к более тяжелой случайной оси. Поэтому в нашем случае:

Проверки.

  1. Выполнение закона суммы осевых моментов инерции.

Для этого сравним

Разница в последней цифре дает незначительную погрешность Запись опубликована 11.09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

Источник